矩阵的秩等于极大无关组的个数吗

线性代数线性方程组,是秩是几,极大无关组就有几个吗

秩是几,极大无关组中向量的个数就是几个。极大无关组的个数要通过化成阶梯型矩阵,画出台阶,每个台阶上取一个,就是一个极大无关组,排列组合求个数,一般不会出这种题目的当然不是,
秩是几,极大无关组中的向量个数就是几。
而不是有几个极大无关组。

为什么最大无关组的向量个数等于矩阵的秩

矩阵看成是向量空间中的一个集合,列向量看成是元素,矩阵的秩不是化简矩阵得到的吗,初等行变换可以看做是把向量的同一个位置化为0,就和方程组化简不也是把不同方程组的未知量消去吗,最后化简得到的最简形就是这个矩阵所代表的集合空间的一个标准正交基,也就是这个矩阵中的任意的向量都可以由这组标准

关于矩阵的秩和极大线性无关组

1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
交换3,4行就是标准的梯矩阵了
其非零行数即矩阵的秩
=
3.
0
0
0
0
1
-1
0
0
1
0
-1
0
1
0
0
-1
求向量组的极大无关组一般是将向量按列向量构成矩阵,
对矩阵用初等行变换化为梯矩阵,
非零行的首非零元所在列对应的列向量即构成一个极大无关组.
这个向量组的秩是3,
如果你按顺序
a2,a3,a4,a1
的顺序构成矩阵的话,就已经是梯矩阵

0
0
0
0
-1
0
0
1
0
-1
0
1
0
0
-1
1
所以
a2,a3,a4
即为一个极大无关组
注意:极大无关组不是唯一的.
事实上,这个向量组的任意3个都线性无关,
故任意3个都构成极大无关组

矩阵秩性质问题

设R(A)=r,R(B)=t,由AB=O可知B的列向量组都是齐次线性方程组AX=O的解向量,而B的列向量组又只是齐次线性方程组AX=O的所有解向量的一部分向量。所以B的列向量组的秩<=s齐次线性方程组AX=O的所有解向量构成的向量组的秩,而齐次线性方程组AX=O的所有解向量组的秩=等于其基础解系所含向量的个数s-r,故R(B)<=s-r.即R(B)<=s-R(A),所以有R(A)+R(B)<=s。矩阵AB是0矩阵——》矩阵B的任一列向量x都是方程Ax=0的解,
1.如果A列满秩,即R(A)=s,由方程解的性质——》方程只有0解——》x的所有元素都为0——》R(B)=0——》R(A)+R(B)=s。
2.如果A非列满秩,即R(A)=a<s,则Ax=0的解空间的秩为s-a。由于B是由Ax=0的解向量组成的,相当于从解空间中任意抽出n个列向量。所以R(B)<=s-a.即R(A)+R(B)<=s。

求解一个矩阵秩的性质

都是可以的,因为矩阵的列秩,等于行秩,等于秩